3.3 Deducción

La deducción o inferencia deductiva, es el único razonamineto aceptado para hacer demostraciones formales, pero antes de ver qué es veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qué podemos concluir?

Estamos dentro de un lugar cerrado y no podemos saber si está o no lloviendo, pero tenemos la siguiente información. Sabemos que siempre que llueve hay nubes y sabemos también que hay nubes. El argumento lo poder escribir:

Si llueve hay nubes.
Hay nubes.
- - - - - - - - - - - - -

En otro caso vemos que un padre le dice a su hijo que si hace la tarea lo lleva al cine. No sabemos si hizo o no la tarea pero en la tarde los vemos en el cine. El argumento quedaría:

Si haces la tarea te llevo al cine.
Lo vimos en el cine.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si se hace el experimento en un salón de clases o con un grupo de personas, en el primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el segundo caso casi todos coinciden en que sí hay conclusión y que se está seguro que hizo la tarea.

Analicemos los casos simbólicamente, en el primero:

p: llueve
q: hay nubes
con símbolos queda:

p → q
q
- - - - - -

En el segundo caso

p: hacer la tarea
q: llevarlo al cine
- - - - - - - - - -

con símbolos:

p → q
q
- - - - - -

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que en los dos casos se puede sacar conclusión válida o en ninguno. Pero no es posible que en uno sí y en el otro no.

La respuesta correcta es que en ningún caso se puede obtener conclusión válida.

A continuación se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una condicional simple, de los cuales dos tienen conclusión válida y dos no. Como en casi todos los casos, en matemáticas, las propiedades se pueden establecer con implicaciones, este modelo de razonamiento resulta ser central para poder entender matemáticas.

Los 4 casos de Inferencia Deductiva con una Implicación:

A	→	C		A	→	C
A				C
__	__	___		__	___	__
C		MPP		NO	HAY

A	→	C		A	→	C
¬A				¬C
__	___	__		__	__	__
NO	HAY			¬A

Notamos que tanto el primero, como el último son argumentos válidos; mientras que en los otros dos no hay concluisón.

El primero se llama MPP: Modus Ponendo Ponens y el último MTT: Modus Tollen Tollens, están en latín y en español MPP podría ser Ley de Afirmar Afirmando o de Poner Poniendo y MTT quedaría Ley de Negar Negando o Quitar Quitando. Sin embargo es costumbre nombrarlos en latín.

Todo esto se puede ilustrar con una pequeña máquina de inferencia.

A	=>	C
=	¬
S

El término S indica que cuando el elemento solo es igual al primero A se concluye el segundo, y cuando S es lo contrario del segundo C se concluye lo contrario del primero.

En general podemos decir que estas dos reglas de inferencia son las escenciales, y cualquier demostración de podría realizar con el uso de MPP y de MTT, pero es muy conveniente tener algunas otras reglas de inferencia, sobretodo porque en muchos resulta complicado cambiarlo a la forma MPP o MTT, por lo que tener una lista de reglas de inferencia resulta ser muy útil para realizar demostraciones.

El elemento fundamental para el razonamiento es la Proposición Lógica.

Una proposición lógica es una expresión que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Si una expresión que contiene variable(s) y al sustituir las variables obtenemos una proposición lógica, se llama proposición abierta.

Ejemplos:

p: La tierra es redonda.

q: −17 + 38 = 15

r: x > y+5

s: El Atlas será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Las expresiones p y q son proposiciones lógicas, mientras que las proposiciones r y s son proposiciones abiertas, las expresiones t y w no son proposiciones el primero es un saludo y el segundo una orden, se llaman expresiones indeterminadas o frases.

Es muy importante en el área de matemáticas conocer los deferentes tipos de inferencia y sobretodo saber los modelos para hacer una demostración formal, ver los temas 3.3 Inferencia y 3.4 Deducción Pero también es importante que el alumno se acostumbre a ejercitar el razonamiento y el uso de la lógica por lo que se presentan algunos casos que pueden ser de mucha utilidad.

3.2 Inferencia

Entendemos por inferencia cualquier proceso mediante el cual se obtienen conclusiones en base a la información conocida. Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión. Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

Inductiva (de lo particular a lo general)

Este es el caso en el que debido a varias observaciones se formula una regla general o incluso una teoría. Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluimos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras; y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sola mentira. Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar con certeza de que sea cierta, pero la verificación de más casos particulares y el conocimiento del tema hacen que la teoría propuesta sea más creíble.

La inducción es un caso muy importante de razonamiento ya que permite crear hipótesis y es como los investigadores generan las nuevas teorías. Ejemplo Inferencia Inductiva .

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Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

En este caso entran MPP y MTT y se pueden hacer una tabla con todos los posibles casos, llamada tabla de verdad, donde se ven las dos formas válidas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en lógica y matemáticas para hacer comprobaciones y sacar conclusiones, por tal razón se le dedica una sección completa en estas notas, ver Deducción .

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Transductiva (de particular a particular o de general a general)

Con el mismo caso del maestro que llega tarde drante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

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Abductiva(Propone una serie de posibles hipótesis sobre un hecho)

Es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez. Con la abducción, así como con el proceso inductivo se pueden crear nuevas teorías y muchas veces se debe a la experiencia o conocimiento sobre el que se está haciendo la inferencia.

En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es conveniente representarlas como pro­ductos, cuando esto sea posible se dirá que se ha factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemental.

Factor Común

Factorizar por factor común una expresión algebraica es representarla como un producto mediante el uso de una o varias veces de la propiedad distributuva de los números reales, que como ya sabemos es: xy + xz = x(y+z). Ver la Ley del Mosquetero

Ejemplo 1 . Factorizar

a) x2 — 9x = x(x—9)

b) 6x3y2 - 4x2y5 + 18xy6 = 2xy2 (3x2 — 2xy3 + 9y4)

c) 5x3 — lOx2 + 15x = 5x(x2 — 2x + 3)


Productos notables

Como factorizar es basicamente lo contrarío de multiplicar, uno de los metódos más útiles en factorizaclón se obtiene al aplicar los Productos Notables, ya que son productos con los que el alumno está familiarizado.

Binomios con Término Semejante (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Este método se basa en el hecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del Mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd

Para una forma más eficiente de su uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:
ac x2 + (ad + bc) x + bd
a b
c d

Al acomodar los factores adecuados abajo de la expresión, si multiplicamos en cruz: a por c y b por b vemos que su suma es el coeficiente de x, por lo que esto nos dá una herramienta directa para factorizar expresiones de esta forma.

Ejemplo 2

Factorizar 6 x2 + 13 x + 6
6 x2 + 13 x + 6
3 2
2 3

Vemos que colocando los factores de esta forma los productos cruzados son 9 y 4 y como la suma es 13 que es el término de enmedio el resultado es
(3x + 2) (2x + 3)

Vemos que acomodamos los términos de otra forma no obtenemos el resultado, por ejemplo si escribimos:
6 x2 + 13 x + 6
3 3
2 2

El resultado de la suma de los productos cruzados es 6 + 6 = 12 que no es el coeficiente del segundo término, por lo que el éxito de este método es el de probar y encontrar los factores adecuados, con los signos y el orden correcto.

Ejemplo 3:

Factorizar 5 x2 - 7 x - 6
5 x2 - 7 x - 6
5 +3
1 −2

Vemos que colocando los factores de 5 y de −6 de esta forma los productos cruzados son −10 y 3 y como la suma es −7 que es el término de enmedio el resultado es
(5x + 3) (x - 2)

Ejemplo 4:

Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6
9a2 — l2ab3 + 4b6
3 −2
3 −2
a b³
a b³

Vemos que colocando los factores de 3 y de −2 de esta forma los productos cruzados son −6 y −6 y como la suma es −12 que es el término de enmedio el resultado es
(3a - 2b3)(3a - 2b3)
(3a - 2b3)2


Trinomio cuadrado perfecto

Otra manera de ver el eplo anterior es considerarla como un trinomio cuadrado perfecto, esto es; el resultado de elevar al cuadrado un binomio. El primer término seria 3a y el segundo 2b3 , y el término de en medio es el doble de su producto, por lo que tenemos:
(3a - 2ab3)2

9a —l2ab +4b — (3a 2b)

En muchas ocasiones no es posible factorizar una expresión dada por alguno do los métodos anteriores, sin embargo es posible agrupar los términos en dos partes, cada una de los cuales se puede factorizar por un método conocido; si después de separar y factorizar resultan términos con factor comón se puede aplicar el primer método, que viene siendo Ley del Mosquetero y la expresión inicial quedara factorizada.

Ejemplo 5 :

x3 — x2 +2x — 2

Factorizamos lo dos primeros términos y después los segundos

x2( x - 1) + 2(x — 1)

(x — 1)( x2 + 2)

Ejemplo 6 :

x3 +2x2 −3xy +y2 -y3

Agrupamos el primero y el ultimo término y después apliquemos el método

x3 -y3 +2x2 −3xy +y2

(x -y)(x2 +xy +y2 ) + (x —y)(2x —y)

(x —y)(x2 +xy+ y2 +2x -y)


División Sintética o Regla de Ruffini: Esta se utiliza cuando el divisor es de la forma * x – a* . Por medio de este procedimiento, se obtiene más fácilmente los Coeficientes en una división de polinomios. Aplicando

Se puede hallar el residuo, sin hallar la división: x2 – 7 x + 6 entre x – 5

Se sustituye la x por 5, y se obtiene: 52 – 7 (5) + 6 = 25 – 35 + 6 = – 4

* + 2 x + 7 entre x +3
Se sustituye la x por ( – 3), y se obtiene: - 3 3 + 2 ( −3 ) + 7 = −27 - 6 + 7 = −26

Aplicando la Regla de Ruffini para calcular los cocientes sin realizar la división:

Procedimiento: a. Se escribe todos los coeficientes del dividendo, y en la parte inferior izquierda,

sobre la horizontal se escribe 3 que aparece en el divisor, pero con signo
cambiado, para evitar la resta que se da en la división:

b. Los coeficientes del cociente se obtiene así:

El primero es igual al primer coeficiente del dividendo: 4 y se escribe debajo de
la línea

c. Los coeficientes se obtienen así:

El 12, es el producto de 3 x 4
El 24, es el producto de 3 x 8
El 78, es el producto de 3 x 26
El 234, es el producto de 3 x 78

2.7.3.2 Teorema del Residuo: Si un polinomio P ( x ) se divide entre x– r, el residuo es P ( r )

Ejemplo: P ( x ) = 2x3 - 4x2 + 2x −1

a ) P ( 1 ) = 2 (1)3 - 4 (1)2 + 2 (1)x −1 = −1

b ) Luego usamos la división sintética para determinar el cociente y el residuo cuando P ( x ) = 2x3 - 4x2 + 2x −1 se divide entre x – 1

El procedimiento consiste en escribir únicamente los coeficientes, en orden de potenica descendiente; ponemos 0 si no hay término.
2 −4 2 −1 1
2 −2 0
--- --- --- ----
2 −2 0 −1

El cocientes es q(x) = 2x2 - 2x y el residuo en −1

Los resultados de la parte a) y de la parte b ) muestran que cuando P ( x) se divide entre x – 1, el residuo es P ( 1 ).


2.7.3.3. Teorema del Factor: Este Teorema nos explica cómo determinar un factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero.

Si P (x) = 0 si y sólo sí x – r es un factor de P( x )

Un cero de un polinomio en x, es todo valor de x que hace que el valor del polinomio sea igual a 0.

Ejemplo: Sea P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15

Demostremos que: a) P ( 3) = 0

Dividimos P(x) entre x −3 utilizando división sintética
1 −3 5 −15 3
3 0 15
--- --- --- ----
1 0 5 0

El residuo de esta división es 0.
De acuerdo con el Teorema del Residuo, éste es igual a P ( 3 )
Por lo tanto, P ( 3 ) = 0 y 3 es un cero del polinomio

b) x – 3 es un factor de P ( x ), el residuo es 0 y los números 1, y 5 de la división sintética en la parte a) representan los coeficientes del cociente, por lo que la factorización queda:

P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3)(x2 + 5)

Propiedades básicas de los números reales

Los Números Reales son un conjunto con dos operaciones: (R, *, +) , que cumple las siguientes propiedades:

Ley 1: Reacomodo. Podemos cambiar de orden los términos en una suma o en un producto y el resultado es el mismo. También podemos cambiar el orden de los parétesis en varios términos que se están sumando.

Ejemplo 1: 3x + 2y = 2y + 3x


Ejemplo 2: (5x+1)(2x-3) = (2x - 3)(5x+1)

Ejemplo 3: (a + b) + (5c + d) = b + ( 5c + a + d)


Ley 2: Cancelación.
Para la suma: Todo número sumado con su inverso se “cancela”.
En realidad esta es la aplicación de dos leyes: Todo número sumado con 0 no se altera y todo número sumado con su inverso es igual a 0.
Para la multiplicación: Todo número multiplicado con su inverso se “cancela”.
En realidad esta es la aplicación de dos leyes: Todo número multiplicado por 1 no se altera y todo número diferente de 0, multiplicado por su inverso es igual a 1.

Ejemplo 4: 5x + 8y - 8y = 5x

Ejemplo 5: 5 * (1/5) = 1

Ley 3: Del Mosquetero: Un número que está multiplica a un paréntesis con varios números adentro, multiplica a uno si la operación es multiplicación y a todos si es suma.

Ejemplo 6: x (y + 5) = + xy + 5x

Ejemplo 7: 7 (3x) = 21 x

Ejemplo 8: 3x (x+5) = 3x2 + 15x


Ejemplo 9: (2x-1)(4x+3) = 8x2 + 6x - 4x −3 = 8x2 + 2x −3

La primera ley es la combinación de las leyes conmutativas de la suma y multiplicación y de la ley asociativa de la suma.

La segunda consise de cuatro leyes; Las leyes de los elementos neutros y de los elementos inversos para la suma y la multiplicación.

La tercera es la ley asociativa de la multiplicación y la ley distributiva.

Con estas Tres Leyes Básicas, que son el resumen de los axiomas de campo de los números reales, podemos desarrollar toda el álgebra y deribar todas las demás propiedades.

Numeros Reales

Definición

Los numeros reales son todos los numeros, los positivos los negativos, los enteros(1,2.,3,4,5,6,7,8,9,...) ademas de los racionales(las fracciones y los decimales) tambien los numeros periodicos infinitos como pi. pero no son reales los numeros imaginarios, que son los que se obtienen por ejemplo cuando quieres sacar la raiz cuadrada de un numero negativo.



CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Conjunto de los números naturales.

El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta asi:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.

Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales.


Conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta asi:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2.



Conjunto de los números racionales.

El conjunto formado por todos los numeros, se define de la siguiente manera:

,m y n son enteros


Representacion decimal periodico (Num. racionales)

1/4= 0.750000....periodo apartir del 3er digito
5/7= 0.714285714285714285..... periodo de longitud 6 que se repite


Conjunto de los números irracionales.

es cualquier numero real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser
expresado como una fracción Representacion decimal periodico (Num. racionales)

1/4= 0.750000....periodo apartir del 3er digito
5/7= 0.714285714285714285..... periodo de longitud 6 que se repite


Conjunto de los números irracionales.

es cualquier numero real que no es racional, es decir, es un número que no puede serRepresentacion decimal periodico (Num. racionales)

1/4= 0.750000....periodo apartir del 3er digito
5/7= 0.714285714285714285..... periodo de longitud 6 que se repite


Conjunto de los números irracionales.

es cualquier numero real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

Representacion decimal aperiodica ( Num. Irracional)

=10456465591386... Expansión decimal no se repite




Propiedades básicas de los números reales.

Ley 1 : Reacomodo.

Es poder cambiar el orden de los terminos de un producto y que el resultado siga siendo el mismo. Tambien el poder cambiar el orden de los parentesis en varios terminos de los que se estan sumando.

Ejemplo:

3x + 2y = 2y + 3x

(5X + 1)(2X - 3) = (2X - 3)(5X + 1)

(a + b) + (5c + d) = b + (5c + a + d)


Ley 2 : Cancelación

a) Suma: Todo número sumado con su inverso se cancela (0)

Ejemplo: 5x + 8y - 8y = 5x

b) Multiplicación: Todo numero multiplicado con su inverso se cancela (1)

Ejemplo: 5 * (1/5) = 1


Ley 3: Del Mosquetero

Un numero que esta multiplicando un parentesis con varios numeros adentro, multiplica 1 si la operación es multiplicación y a todos si es una suma.

Ejemplo:

x( y + 5) = xy +5x

7(3x) = 21x

3x(x + 5) = 3x² + 15x

(2x - 1)(4x + 3) = 8x² + 6x -4x -3 = 8x² + 2x - 3