3.3 Deducción

La deducción o inferencia deductiva, es el único razonamineto aceptado para hacer demostraciones formales, pero antes de ver qué es veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qué podemos concluir?

Estamos dentro de un lugar cerrado y no podemos saber si está o no lloviendo, pero tenemos la siguiente información. Sabemos que siempre que llueve hay nubes y sabemos también que hay nubes. El argumento lo poder escribir:

Si llueve hay nubes.
Hay nubes.
- - - - - - - - - - - - -

En otro caso vemos que un padre le dice a su hijo que si hace la tarea lo lleva al cine. No sabemos si hizo o no la tarea pero en la tarde los vemos en el cine. El argumento quedaría:

Si haces la tarea te llevo al cine.
Lo vimos en el cine.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si se hace el experimento en un salón de clases o con un grupo de personas, en el primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el segundo caso casi todos coinciden en que sí hay conclusión y que se está seguro que hizo la tarea.

Analicemos los casos simbólicamente, en el primero:

p: llueve
q: hay nubes
con símbolos queda:

p → q
q
- - - - - -

En el segundo caso

p: hacer la tarea
q: llevarlo al cine
- - - - - - - - - -

con símbolos:

p → q
q
- - - - - -

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que en los dos casos se puede sacar conclusión válida o en ninguno. Pero no es posible que en uno sí y en el otro no.

La respuesta correcta es que en ningún caso se puede obtener conclusión válida.

A continuación se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una condicional simple, de los cuales dos tienen conclusión válida y dos no. Como en casi todos los casos, en matemáticas, las propiedades se pueden establecer con implicaciones, este modelo de razonamiento resulta ser central para poder entender matemáticas.

Los 4 casos de Inferencia Deductiva con una Implicación:

A	→	C		A	→	C
A				C
__	__	___		__	___	__
C		MPP		NO	HAY

A	→	C		A	→	C
¬A				¬C
__	___	__		__	__	__
NO	HAY			¬A

Notamos que tanto el primero, como el último son argumentos válidos; mientras que en los otros dos no hay concluisón.

El primero se llama MPP: Modus Ponendo Ponens y el último MTT: Modus Tollen Tollens, están en latín y en español MPP podría ser Ley de Afirmar Afirmando o de Poner Poniendo y MTT quedaría Ley de Negar Negando o Quitar Quitando. Sin embargo es costumbre nombrarlos en latín.

Todo esto se puede ilustrar con una pequeña máquina de inferencia.

A	=>	C
=	¬
S

El término S indica que cuando el elemento solo es igual al primero A se concluye el segundo, y cuando S es lo contrario del segundo C se concluye lo contrario del primero.

En general podemos decir que estas dos reglas de inferencia son las escenciales, y cualquier demostración de podría realizar con el uso de MPP y de MTT, pero es muy conveniente tener algunas otras reglas de inferencia, sobretodo porque en muchos resulta complicado cambiarlo a la forma MPP o MTT, por lo que tener una lista de reglas de inferencia resulta ser muy útil para realizar demostraciones.