Propiedades básicas de los números reales

Los Números Reales son un conjunto con dos operaciones: (R, *, +) , que cumple las siguientes propiedades:

Ley 1: Reacomodo. Podemos cambiar de orden los términos en una suma o en un producto y el resultado es el mismo. También podemos cambiar el orden de los parétesis en varios términos que se están sumando.

Ejemplo 1: 3x + 2y = 2y + 3x


Ejemplo 2: (5x+1)(2x-3) = (2x - 3)(5x+1)

Ejemplo 3: (a + b) + (5c + d) = b + ( 5c + a + d)


Ley 2: Cancelación.
Para la suma: Todo número sumado con su inverso se “cancela”.
En realidad esta es la aplicación de dos leyes: Todo número sumado con 0 no se altera y todo número sumado con su inverso es igual a 0.
Para la multiplicación: Todo número multiplicado con su inverso se “cancela”.
En realidad esta es la aplicación de dos leyes: Todo número multiplicado por 1 no se altera y todo número diferente de 0, multiplicado por su inverso es igual a 1.

Ejemplo 4: 5x + 8y - 8y = 5x

Ejemplo 5: 5 * (1/5) = 1

Ley 3: Del Mosquetero: Un número que está multiplica a un paréntesis con varios números adentro, multiplica a uno si la operación es multiplicación y a todos si es suma.

Ejemplo 6: x (y + 5) = + xy + 5x

Ejemplo 7: 7 (3x) = 21 x

Ejemplo 8: 3x (x+5) = 3x2 + 15x


Ejemplo 9: (2x-1)(4x+3) = 8x2 + 6x - 4x −3 = 8x2 + 2x −3

La primera ley es la combinación de las leyes conmutativas de la suma y multiplicación y de la ley asociativa de la suma.

La segunda consise de cuatro leyes; Las leyes de los elementos neutros y de los elementos inversos para la suma y la multiplicación.

La tercera es la ley asociativa de la multiplicación y la ley distributiva.

Con estas Tres Leyes Básicas, que son el resumen de los axiomas de campo de los números reales, podemos desarrollar toda el álgebra y deribar todas las demás propiedades.